En outre, nous savons généralement que nos données ont des variations aléatoires causées par le bruit aléatoire, ou pire encore le bruit cohérent. Dans tous les cas, les erreurs dans les données observées introduisent des erreurs dans les paramètres du modèle récupéré que nous obtenons en résolvant le problème inverse. Pour éviter ces erreurs, nous pouvons vouloir limiter les solutions possibles pour mettre en évidence certaines fonctionnalités possibles dans nos modèles. Ce type de contrainte est connu sous le nom de régularisation. La théorie des problèmes inverses est largement utilisée dans les prévisions météorologiques, l`océanographie, l`hydrologie et l`ingénierie pétrolière. 7 [8] la transformation des données en paramètres de modèle (ou inversement) est le résultat de l`interaction d`un système physique avec l`objet que nous souhaitons déduire des propriétés. En d`autres termes, la transformation est la physique qui relie la quantité physique (c.-à-d. les paramètres du modèle) aux données observées. Dans le cas d`un problème d`inversion linéaire discret décrivant un système linéaire, d {displaystyle d} (les données) et m {displaystyle m} (le meilleur modèle) sont des vecteurs, et le problème peut être écrit comme par exemple, smogorzhevsky [10] développe plusieurs théorms d`géométrie géométrie avant de commencer la géométrie de Lobachevskian. En discrétisation l`expression ci-dessus, nous sommes en mesure de relier les observations de données discrètes sur la surface de la terre aux paramètres du modèle discret (densité) dans la sous-surface que nous souhaitons en savoir plus sur. Par exemple, considérez le cas où nous avons 5 mesures sur la surface de la terre.
Dans ce cas, notre vecteur de données, d {displaystyle d} est un vecteur de colonne de dimension (5×1). Nous savons aussi que nous n`avons que cinq masses inconnues dans la sous-surface (irréalistes mais utilisées pour démontrer le concept). Ainsi, nous pouvons construire le système linéaire reliant les cinq masses inconnues aux cinq points de données comme suit: les problèmes inverses non linéaires ont une relation plus complexe entre les données et le modèle, représentée par l`équation: la réciprocité est la clé de la transformation la théorie en tant que génératrice du groupe Möbius. Les autres générateurs sont la traduction et la rotation, tous deux familiers par des manipulations physiques dans l`environnement 3-Space. L`introduction de la réciprocité (dépendante de l`inversion du cercle) est ce qui produit la nature particulière de la géométrie de Möbius, qui est parfois identifiée par une géométrie géométrie (du plan euclidien). Cependant, la géométrie géométrie est l`étude plus grande puisqu`elle inclut l`inversion brute dans un cercle (pas encore fait, avec la conjugaison, dans la réciprocité). La géométrie Inversive inclut également le mappage de conjugaison. Ni la conjugaison ni l`inversion en cercle ne se trouvent dans le groupe Möbius puisqu`elles ne sont pas conformes (voir ci-dessous). Les éléments du groupe Möbius sont des fonctions analytiques de l`ensemble du plan et sont donc nécessairement conformes. Le système comporte cinq équations, G {displaystyle G}, avec cinq inconnues, m {displaystyle m}. Pour résoudre les paramètres de modèle qui correspondent à nos données, nous pourrions être en mesure d`inverser la matrice G {displaystyle G} pour convertir directement les mesures dans nos paramètres de modèle.
Par exemple: l`un des premiers à considérer les fondations de la géométrie géométrie a été Mario Pieri en 1911 et 1912. Edward Kasner a écrit sa thèse sur “la théorie invariante du groupe d`inversion” [7]. [8] étant donné que l`inversion dans la sphère de l`unité laisse les sphères orthogonales à elle invariante, l`inversion mappe les points à l`intérieur de la sphère de l`unité à l`extérieur et inversement.